제논의 역설




사람은 결승점을 통과할 수 없다

올림피우스가 달리기를 할 때, 결승점에 도달하기 전에 1/2 지점에 도달해야 한다.
이후 중간점과 결승점의 1/2이 되는 지점에 도달한다.
이후 또 다시 중간점과 결승점의 중간에 해당하는 지점과 결승점의 1/2이 되는 지점에 도달한다.

결국 무한히 계속되는 중간점에 의해 결승점에 무한히 가까워지지만 도달하는 것은 불가능하다.
각각의 절반지점을 통과할 때마다 1분씩 걸린다고 가정할 경우,
끊임없이 가까워지지만 도달하지는 않는다. 약속시간에 늦었을 때, 훌륭한 변명거리가 될 수 있다.
"약속 장소에 끊임없이 가까워지고 있지만 도달하지 못하고 있어"

물론 이것은 역설이다.
각각의 절반 지점을 통과할 때는 그전의 통과점을 통과할 때의 1/2의 시간밖에는 걸리지 않기 때문이다.
따라서 무수히 많은 중간점을 지나게 되더라도 2분 만에 결승점에 도달하게 된다.



아킬레우스와 거북이

가장 유명한 역설이다. 아킬레우스가 발이 빠른 영웅의 대표였기 때문에 그를 예시로 들었다.

아킬레우스가 100m 가는 동안 거북이가 10m을 간다고 가정하고, 거북이가 아킬레우스보다 100m 앞에 있다고 가정할 때, 아킬레우스가 100m 앞으로 갈 때 거북이는 10m를 나아간다. 다시 10m를 나아가면 거북이는 1m 이동하여 그 자리에 없게 된다. 마찬가지로 아킬레우스가 다시 1m를 가면 거북이는 0.1m 나아간다. 따라서 아킬레우스는 아주 미세한 거리만큼 뒤처지게 되며, 아무리 가까워져도 거북이를 따라잡는 건 불가능하다.

물론 이것 역시 역설이다.
그리스인들도 당연히 이것이 사실이 아님을 알았지만,
이것을 논리적으로 파훼하는 것은 당시의 수학으로는 불가능한 일이었기에
'역설'이라는 이름이 붙은 것이다.



화살의 패러독스

화살을 쏘았다.
날아가는 화살은 시간이 지남에 따라서 어느 점을 지나게 될 것이다.
한 순간 동안에라도 화살은 어떤 한 점에 머무르게 되고 그 다음 순간에도 어떤 한 점에 머무르게 된다.
화살은 항상 머물러 있으니 결국 움직이지 않은 것이 된다.
역시 연속성과 불연속성의 개념을 이용한 낚시.
만화책 "캠퍼스 러브스토리"에서 재미있게 표현되기도 했다.

2008년에 나온 김진경 작가의 소설 '우리들의 아름다운 나라'에서도 이에 대한 묘사가 있다.
이 책에서는 '시간은 쪼갤 수 없다'라며 이 논리의 모순점을 지적한다.






단 한줄로 표현하면, 애초에 셀 수 없는 단위를 제논이 억지로 끼워맞췄기 때문에 생긴 오류이다.

흔히 무한급수를 이용해서 아킬레우스와 거북 문제를 설명하지만,
사실은 무한급수는 아킬레우스가 거북을 따라잡을 수 없다는 '사실'의 부정일 뿐
그 '사실'을 논증하기 위해서 제논이 쓴 논리를 부정하는 것이 아니므로 답이 되지 않는다.
어차피 무한급수가 아니라도 아킬레우스가 거북을 따라잡을 수 있다는 것은 누구나 안다.

문제는 아킬레우스가 거북을 따라잡기 위해서 무한의 과정을 거쳐야 한다는데 있다.
무한히 많은 과정을 유한의 시간 내에 끝낼 수 있는가, 이를 정량적으로 표현하면
무한히 많은 숫자의 양을 더했을 때 과연 그 결과가 유한한 양이 될 수 있는가의 문제인 것이다.
무한급수를 보면 무한히 많은 항을 더해서 유한의 숫자가 나오므로 가능할 것 같다.
그러나 선분을 보면 크기 0인 무한히 많은 점이 합쳐져서 길이가 있는 선분이 되기도 하고
심지어 무한의 길이인 직선이 되기도 한다.
그렇다면 0을 무한히 합쳐 나가면 0보다 큰 값이 되는 것이 가능하다는 것일까?
0만 무한히 합쳐도 무한의 길이인 직선이 될 수 있다면,
0보다 명백하게 큰 값을 무한히 합쳤을 때 유한의 값이 나오는 것은 불합리하지 않을까?

버트런드 러셀에 따르면 무한집합으로 유명한 게오르그 칸토어가 해답을 내놓았고
그는 직선의 어떤 부분에 존재하는 점 또는 유한의 시간을 구성하는 한 순간은 셀 수가 없다는 것을
증명하였다 한다.
만약 셀 수 있는 경계가 있다면 그것들은 끝없이 추가되기 때문에 결국 도달할수 없게 되나,
실제로는 그러한 셀 수 있는 경계가 존재하지 않기 때문에 도달하는 것이 가능하다.

무슨 말인지 알기 어려우니 구체적으로 설명하자면 이렇다.

제논의 시대에는 점의 크기가 0이 아니라 단위 길이라고 생각하고 있었으므로,
제논 당대의 상식에서는 아킬레우스가 거북을 따라잡는 과정은 무한히 분할할 수 없었다.
그러나 점의 크기가 0이 아니라는 개념으로는 무리수인 길이의 존재를 설명할 수 없었고,
유클리드의 시대에는 점의 크기는 0이라는 개념이 확립되어 버린다.
따라서 유클리드 시대에는 제논의 문제에 경험칙 이외의 연역적인 반박을 할 수가 없었다.
19세기 초에 코시가 무한급수의 특성을 명확하게 규명했을 때에도
이 문제는 여전히 해결되지 않은 상태로 남아있었다.

이 문제에 최종적인 대답을 내놓은 것이 19세기 말에 나온 칸토어의 무한집합론이고,
칸토어 본인도 제논의 패러독스를 자기 논문에서 언급하기도 했다.
게오르크 칸토어는 선분, 혹은 직선 위의 점의 숫자는
'하나씩 셀 수 있는 무한대'보다 많다는 것을 증명했다.
자연수라면 하나씩 무한대로 세어 나가면 자연수 전체를 셀 수 있지만,
선분 위의 점의 숫자는 그렇게 '셀 수 있는 무한대'보다 많다는 것을 보인 것이다.






이는..

고대 그리스의 엘레아의 제논이 '만물은 흐른다'는 이론을 반대하기 위해 만들어 낸 역설.
종류는 3가지. 정확히는 4가지지만 경주장 역설은 널리 알려져 있지 않다.

한 마디로 요약하자면 '만물은 언제나 정지해 있다'는 건데
다른 사람들이 주위를 가리키면서 "보시오. 이렇게 움직이고 있지 않소!"라고 말하면

"착각이오. 눈의 착각이오."라고
대답했다고....
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